Fractions et puissances

1. Rappel : Les fractions et les puissances

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Une fraction représente une partie d'un tout. Elle s'écrit a/b, où :

• a est le numérateur (le nombre de parts que tu prends)
• b est le dénominateur (le nombre total de parts égales)

Exemple : Si tu manges 3/4 d'une assiette de riz, cela signifie que l'assiette est divisée en 4 parts égales, et tu en manges 3.

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Une puissance est une multiplication répétée du même nombre. Elle s'écrit aⁿ, où :

• a est la base (le nombre qu'on multiplie)
• n est l'exposant (le nombre de fois qu'on le multiplie)

Exemple :

• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
• 5² = 5 × 5 = 25

2. Élever une fraction à une puissance

Maintenant, tu vas apprendre à combiner ces deux notions : élever une fraction à une puissance. Cela signifie multiplier la fraction par elle-même plusieurs fois.

La règle fondamentale

Quand tu élèves une fraction à une puissance, tu dois élever le numérateur ET le dénominateur à cette même puissance :

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

Pourquoi cette règle fonctionne ?

Regardons l'exemple (2/3)² :

• (2/3)² signifie (2/3) × (2/3)
• = (2 × 2) / (3 × 3)
• = 4/9
• = 2²/3²

Tu vois ? En multipliant les fractions, le numérateur se multiplie par lui-même, et le dénominateur aussi. C'est exactement ce que dit la règle !

3. Méthode étape par étape

Étape 1 : Identifier la base et l'exposant

Repère bien la fraction (le numérateur et le dénominateur) et le nombre de fois qu'on doit la multiplier.

Étape 2 : Appliquer la règle

Élève le numérateur à la puissance, puis le dénominateur à la puissance.

Étape 3 : Calculer les puissances

Calcule aⁿ et bⁿ séparément.

Étape 4 : Écrire le résultat

Écris la nouvelle fraction.

Étape 5 : Simplifier si possible

Réduis la fraction si elle n'est pas déjà simplifiée.

4. Exemples détaillés

Exemple 1 : (1/2)³

Étape 1 : La base est 1/2, l'exposant est 3.

Étape 2 : Applique la règle : (1/2)³ = 1³/2³

Étape 3 : Calcule les puissances :

• 1³ = 1 × 1 × 1 = 1
• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8

Étape 4 : Résultat : 1/8

Vérification : (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8 ✓

Exemple 2 : (3/4)²

Étape 1 : La base est 3/4, l'exposant est 2.

Étape 2 : Applique la règle : (3/4)² = 3²/4²

Étape 3 : Calcule les puissances :

• 3² = 3 × 3 = 9
• 4² = 4 × 4 = 16

Étape 4 : Résultat : 9/16

Interprétation : 9/16 est plus petit que 3/4 (qui vaut 12/16). Cela a du sens : quand tu multiplies une fraction inférieure à 1 par elle-même, le résultat devient plus petit.

Exemple 3 : (2/5)³

Étape 1 : La base est 2/5, l'exposant est 3.

Étape 2 : Applique la règle : (2/5)³ = 2³/5³

Étape 3 : Calcule les puissances :

• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
• 5³ = 5 × 5 × 5 = 125

Étape 4 : Résultat : 8/125

5. Les puissances négatives

Une puissance négative signifie qu'on prend l'inverse de la fraction.

Règle : (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ = bⁿ/aⁿ

Autrement dit, on échange le numérateur et le dénominateur, puis on élève à la puissance positive.

Exemple : (2/3)⁻¹

(2/3)⁻¹ = 3/2

Pourquoi ? Parce que (2/3)⁻¹ est l'inverse de (2/3), qui est 3/2.

Exemple : (2/3)⁻²

(2/3)⁻² = (3/2)² = 3²/2² = 9/4

6. Règles de calcul avec les puissances

Multiplication de puissances (même base)

Si tu multiplies deux puissances ayant la même base, tu additionnes les exposants :

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Exemple : (2/3)² × (2/3)³ = (2/3)²⁺³ = (2/3)⁵ = 32/243

Division de puissances (même base)

Si tu divises deux puissances ayant la même base, tu soustrais les exposants :

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Exemple : (5/7)⁴ ÷ (5/7)² = (5/7)⁴⁻² = (5/7)² = 25/49

Puissance d'une puissance

Si tu élèves une puissance à une autre puissance, tu multiplies les exposants :

(aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ

Exemple : ((1/2)²)³ = (1/2)²×³ = (1/2)⁶ = 1/64

7. Application à des situations réelles ivoiriennes

Situation 1 : Partage d'héritage

Kofi hérite d'une parcelle de terrain. Il décide que chaque enfant ne recevra que (1/3)² de la parcelle initiale.

Question : Quelle fraction de la parcelle chaque enfant recevra-t-il ?

Résolution :

• Applique la règle : (1/3)² = 1²/3² = 1/9
• Chaque enfant reçoit 1/9 de la parcelle.

Situation 2 : Réduction progressive au marché

Awa achète un pagne à 8 000 FCFA. Le vendeur propose une réduction : chaque jour, le prix est multiplié par 1/2. Après 3 jours, quel sera le prix ?

Résolution :

• Prix après 3 jours = 8 000 × (1/2)³
• (1/2)³ = 1/8
• Prix = 8 000 × 1/8 = 1 000 FCFA

Situation 3 : Croissance biologique

Une bactérie se divise en deux chaque heure. Après 4 heures, une bactérie initiale s'est transformée en 2⁴ = 16 bactéries. Si tu veux exprimer cela en fraction du nombre initial, tu peux écrire : 16 = (2)⁴.