Nombres relatifs et opérations

1. Situation de départ

Imagine Awa qui vend de l'attiéké au marché de Marcory. Un jour, elle note dans son cahier : plus 3000 FCFA (une vente), puis moins 1200 FCFA (achat de poisson pour compléter son stock), puis moins 800 FCFA (transport en gbaka). À la fin de la journée, Awa veut savoir si elle a gagné ou perdu de l'argent. Pour répondre, elle doit additionner des nombres relatifs, c'est-à-dire des nombres avec un signe plus ou moins devant.

2. Découverte

Un nombre relatif est composé de deux parties : un signe (plus ou moins) et une distance à zéro, appelée valeur absolue. Par exemple, moins 5 signifie qu'on est à 5 unités de zéro, du côté négatif. Plus 5 signifie qu'on est à 5 unités de zéro, du côté positif. Sur une droite numérique horizontale, zéro est au centre, les nombres positifs sont à droite, les nombres négatifs sont à gauche. Cette droite t'aide à visualiser : si tu es à moins 3 et que tu avances de 5, tu arrives à plus 2. C'est exactement ce que fait Awa avec son argent : elle avance ou recule sur une droite de gains et de pertes.

3. Notion et règles

Règle de l'addition : pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde le signe commun. Par exemple, moins 4 plus moins 6 égale moins 10, car 4 plus 6 égale 10, et le signe commun est moins. Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. Par exemple, plus 7 plus moins 3 égale plus 4, car 7 moins 3 égale 4, et 7 est plus grand que 3, donc le signe est plus.

Règle de la soustraction : soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé. L'opposé d'un nombre est le même nombre avec le signe contraire. L'opposé de plus 6 est moins 6. Donc, 10 moins (plus 4) égale 10 plus (moins 4) égale 6. Et 10 moins (moins 4) égale 10 plus (plus 4) égale 14. Cette règle est très importante : deux signes moins qui se suivent deviennent un signe plus.

Règle de la multiplication : pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs valeurs absolues, puis on applique la règle des signes suivante : plus multiplié par plus donne plus. Moins multiplié par moins donne plus. Plus multiplié par moins donne moins. Moins multiplié par plus donne moins. En résumé, si les deux nombres ont le même signe, le résultat est positif. Si les deux nombres ont des signes différents, le résultat est négatif. Par exemple, moins 5 multiplié par moins 3 égale plus 15. Et moins 5 multiplié par plus 3 égale moins 15.

Règle de la division : la règle des signes est exactement la même que pour la multiplication. Moins 12 divisé par moins 4 égale plus 3. Moins 12 divisé par plus 4 égale moins 3.

4. Application guidée

Reprenons la situation d'Awa. Elle a noté : plus 3000, moins 1200, moins 800. Calculons son bilan de la journée.

Étape 1 : on additionne plus 3000 et moins 1200. Les signes sont différents, donc on soustrait les valeurs absolues : 3000 moins 1200 égale 1800. Le signe est celui du plus grand nombre en valeur absolue, donc plus. Résultat intermédiaire : plus 1800.

Étape 2 : on additionne le résultat plus 1800 avec moins 800. Les signes sont différents, donc on soustrait : 1800 moins 800 égale 1000. Le signe est celui du plus grand, donc plus. Résultat final : plus 1000 FCFA.

Conclusion : Awa a gagné 1000 FCFA à la fin de sa journée. Ce calcul, elle peut le refaire chaque soir pour surveiller son petit commerce.

Autre exemple d'application guidée avec la température. À Man, le thermomètre affiche moins 3 degrés à 6 heures du matin. À midi, la température a augmenté de 12 degrés. Quelle est la température à midi ?

On calcule : moins 3 plus plus 12. Les signes sont différents, donc on soustrait les valeurs absolues : 12 moins 3 égale 9. Le signe est celui du plus grand nombre en valeur absolue, donc plus. La température à midi est donc plus 9 degrés, c'est-à-dire 9 degrés.

5. Synthèse

Les nombres relatifs te permettent de représenter des situations avec deux directions opposées : gain ou perte, hausse ou baisse, dette ou crédit. Pour les additionner et les soustraire, tu dois toujours faire attention aux signes et te souvenir que soustraire un nombre relatif équivaut à additionner son opposé. Pour les multiplier et les diviser, retiens la règle des signes : mêmes signes donnent plus, signes différents donnent moins. Ces règles s'appliquent aussi bien à un bilan financier, comme celui d'une vendeuse d'attiéké, qu'à une variation de température, comme celle observée par un élève de Man ou de Korhogo. Plus tu pratiques ces calculs, plus tu deviens rapide et sûr de toi, une compétence utile pour le BEPC et pour la vie de tous les jours.