Mathématiques · 3ème
Racines carrées - découverte
Comprendre la notion de racine carrée, identifier quand l'utiliser, et résoudre des problèmes concrets impliquant des carrés et des surfaces.
Imagine que tu aides ton oncle Kofi à aménager un petit potager carré derrière sa maison à Abidjan. Il te dit : « Je veux que la surface totale soit exactement 144 m². Mais combien de mètres dois-je mesurer pour chaque côté ? » Tu te demandes comment trouver cette longueur en connaissant seulement la surface. C'est là qu'intervient la **racine carrée** — un outil mathématique puissant qui te permet de « remonter » d'une surface à la longueur d'un côté. Cette notion te sera utile partout : en construction, en sport, en aménagement, et même dans tes calculs de géométrie. Apprendre les racines carrées, c'est devenir plus autonome pour résoudre les problèmes du quotidien.
1. Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
Définition simple
Une racine carrée est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne un nombre donné.
Par exemple :
- 6 × 6 = 36, donc la racine carrée de 36 est 6
- 9 × 9 = 81, donc la racine carrée de 81 est 9
- 10 × 10 = 100, donc la racine carrée de 100 est 10
Le symbole √
On écrit la racine carrée avec le symbole √ (qu'on lit « racine carrée de »).
Notation : √36 = 6 (on lit « racine carrée de 36 égale 6 »)
Formule générale : Si a × a = b, alors √b = a
Lien avec l'élévation au carré
Tu as déjà appris que 5² = 5 × 5 = 25. La racine carrée est l'opération inverse :
- 5² = 25
- √25 = 5
Elles « s'annulent » : (√a)² = a
2. Pourquoi les racines carrées ?
Situation concrète : le terrain carré
Quand tu connais la surface d'un carré et que tu veux trouver la longueur d'un côté, tu dois utiliser une racine carrée.
Rappel : Pour un carré de côté c, la surface = c × c = c²
Donc : Si surface = S, alors côté = √S
Exemples du quotidien
- Construction : Un maçon doit créer une terrasse carrée de 49 m². Il calcule : côté = √49 = 7 m.
- Sport : Un terrain de jeu carré a une surface de 100 m². Les côtés mesurent √100 = 10 m.
- Décoration : Awa veut un tapis carré de 64 cm². Elle sait que chaque côté mesure √64 = 8 cm.
3. Les racines carrées parfaites à mémoriser
Ce sont les racines carrées des nombres entiers. Tu dois les connaître par cœur :
| Nombre | Racine carrée |
|---|---|
| 1 | √1 = 1 |
| 4 | √4 = 2 |
| 9 | √9 = 3 |
| 16 | √16 = 4 |
| 25 | √25 = 5 |
| 36 | √36 = 6 |
| 49 | √49 = 7 |
| 64 | √64 = 8 |
| 81 | √81 = 9 |
| 100 | √100 = 10 |
| 121 | √121 = 11 |
| 144 | √144 = 12 |
Conseil : Écris cette table plusieurs fois pour la mémoriser. Elle te fera gagner du temps en contrôle !
4. Comment calculer une racine carrée ?
Méthode 1 : Reconnaître une racine carrée parfaite
Si le nombre est dans la table ci-dessus, tu peux répondre directement.
Exemple : √49 = 7 (car 7 × 7 = 49)
Méthode 2 : Tester des nombres
Si tu ne reconnais pas le nombre, teste en multipliant :
Chercher √36 :
- Essaie 5 : 5 × 5 = 25 (trop petit)
- Essaie 6 : 6 × 6 = 36 ✓
- Donc √36 = 6
Méthode 3 : Encadrer pour les racines non parfaites
Si le nombre n'est pas parfait, tu peux l'encadrer entre deux racines carrées parfaites.
Chercher √50 :
- Je sais que √49 = 7 et √64 = 8
- Donc 7 < √50 < 8
- Plus précisément : √50 ≈ 7,07
5. Propriétés importantes des racines carrées
Propriété 1 : La racine carrée est toujours positive
√25 = 5 (jamais −5)
Même si (−5) × (−5) = 25, on ne prend que la valeur positive.
Propriété 2 : Racine carrée d'un produit
√(a × b) = √a × √b
Exemple : √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6
Vérification : √36 = 6 ✓
Propriété 3 : L'inverse du carré
(√a)² = a
Exemple : (√16)² = 16
6. Résoudre un problème avec les racines carrées
Étapes à suivre
- Lis bien l'énoncé et identifie ce qu'on te demande
- Repère les données : surface, forme (carré ?), ce qu'on cherche
- Écris la formule : côté = √surface
- Calcule la racine carrée
- Vérifie en multipliant : côté × côté = surface
- Écris la réponse avec l'unité
Exemple complet
Énoncé : Mamadou aménage un petit jardin carré au marché d'Adjamé. La surface est 81 m². Quelle est la longueur d'un côté ?
Résolution :
- Surface = 81 m²
- Je cherche : côté = √81
- Je calcule : 9 × 9 = 81, donc √81 = 9
- Vérification : 9 × 9 = 81 ✓
- Réponse : Le côté mesure 9 mètres.
À retenir
- La racine carrée d'un nombre est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne ce nombre initial.
- Le symbole √ signifie « racine carrée » ; exemple : √25 = 5 car 5 × 5 = 25.
- Pour un carré de surface S, la longueur d'un côté est √S.
- Les racines carrées parfaites (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144...) doivent être mémorisées.
- La racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré : (√a)² = a et √(a²) = a.
Teste tes connaissances
3 exercices, du plus facile au plus difficile.
Facile
Que signifie le symbole √ ?
Moyen
Un terrain carré a une surface de 100 m². Quelle est la longueur d'un côté ?
Difficile
L'oncle Kofi a deux terrains carrés : le premier de 144 m² et le second de 225 m². Quel est le périmètre total à clôturer ?
Envie d'aller plus loin ?
Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes les leçons et suivre ta progression.
S'inscrire gratuitement