Comparer, ordonner et encadrer de grands nombres

I. COMPARER DEUX GRANDS NOMBRES

1. Le sens de la comparaison

Comparer deux nombres, c'est dire lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s'ils sont égaux. Pour cela, on utilise trois signes spéciaux :

• Le signe < : il signifie "est plus petit que". La pointe du signe regarde le nombre le plus petit. Par exemple : 12 < 15 se lit "12 est plus petit que 15".
• Le signe > : il signifie "est plus grand que". La pointe du signe regarde le nombre le plus petit. Par exemple : 20 > 13 se lit "20 est plus grand que 13".
• Le signe = : il signifie "est égal à". Par exemple : 100 = 100.

Règle à retenir : La bouche ouverte du signe (le côté large) est toujours tournée vers le nombre le plus grand. Imagine que c'est la bouche d'un poisson qui veut manger le plus gros nombre !

2. Comment comparer deux grands nombres ? La méthode en 3 étapes

Quand tu as deux grands nombres, tu ne peux pas les comparer juste en les regardant vite. Suis ces étapes :

Étape 1 : Regarde le nombre de chiffres. Le nombre qui a le plus de chiffres est toujours le plus grand. Exemple : 8 500 (4 chiffres) est plus grand que 999 (3 chiffres). Donc 8 500 > 999.

Étape 2 : Si les deux nombres ont le même nombre de chiffres, compare le premier chiffre à gauche (celui des centaines de mille, ou des dizaines de mille, etc.). Le nombre dont le premier chiffre est le plus grand est le plus grand. Exemple : Compare 45 000 et 38 000. Les deux ont 5 chiffres. Le premier chiffre de 45 000 est 4. Le premier chiffre de 38 000 est 3. 4 est plus grand que 3, donc 45 000 > 38 000.

Étape 3 : Si le premier chiffre est identique, compare le chiffre suivant (celui des dizaines de mille, puis des unités de mille, etc.), jusqu'à trouver une différence. Exemple : Compare 45 200 et 45 100. Les deux ont 5 chiffres. Le premier chiffre est le même (4). Le deuxième chiffre est le même (5). Le troisième chiffre est différent : 2 pour le premier nombre, 1 pour le deuxième. 2 est plus grand que 1, donc 45 200 > 45 100.

Définition : On appelle chiffre le signe (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) qui sert à écrire un nombre. On appelle nombre la valeur que représentent ces chiffres.

II. ORDONNER DES GRANDS NOMBRES

1. Qu'est-ce qu'ordonner des nombres ?

Ordonner des nombres, c'est les ranger dans un certain ordre. Il y a deux façons de le faire :

• L'ordre croissant : du plus petit au plus grand. On monte comme quand on gravit une colline. On utilise le signe < entre chaque nombre. Exemple : 100 < 500 < 1 000.
• L'ordre décroissant : du plus grand au plus petit. On descend comme quand on dévale une pente. On utilise le signe > entre chaque nombre. Exemple : 1 000 > 500 > 100.

2. Méthode pour ordonner une liste de nombres

Imagine que tu dois ranger les recettes de trois vendeuses de tomates au marché de Bouaké : 12 500 FCFA, 15 200 FCFA et 11 800 FCFA.

Étape 1 : Compare les nombres deux par deux. Utilise la méthode de comparaison que tu as apprise.

• 12 500 et 15 200 : même nombre de chiffres (5). Premier chiffre : 1 et 1 (pareil). Deuxième chiffre : 2 et 5. 2 < 5, donc 12 500 < 15 200.
• 12 500 et 11 800 : même nombre de chiffres. Premier chiffre : 1 et 1 (pareil). Deuxième chiffre : 2 et 1. 2 > 1, donc 12 500 > 11 800.
• 15 200 et 11 800 : premier chiffre : 1 et 1 (pareil). Deuxième chiffre : 5 et 1. 5 > 1, donc 15 200 > 11 800.

Étape 2 : Place les nombres dans l'ordre demandé.

• Ordre croissant (du plus petit au plus grand) : 11 800 < 12 500 < 15 200.
• Ordre décroissant (du plus grand au plus petit) : 15 200 > 12 500 > 11 800.

Règle : Pour vérifier ton classement, regarde toujours le premier nombre de ta liste. En ordre croissant, il doit être le plus petit de tous. En ordre décroissant, il doit être le plus grand de tous.

III. ENCADRER UN GRAND NOMBRE

1. Qu'est-ce qu'encadrer un nombre ?

Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit que lui (qui vient juste avant) et un nombre plus grand que lui (qui vient juste après). On dit qu'on "encadre" le nombre comme on met un cadre autour d'une photo.

Définition : Un encadrement s'écrit toujours avec deux signes < ou >. Par exemple : 12 000 < 12 500 < 13 000. Cela se lit : "12 500 est compris entre 12 000 et 13 000".

2. Les différents types d'encadrement

Il existe plusieurs façons d'encadrer un nombre. On peut choisir l'écart entre le nombre et ses "voisins".

a) Encadrement à l'unité près : On cherche le nombre juste avant et le nombre juste après, en ajoutant ou enlevant 1. Exemple : Encadre 8 500 à l'unité près.

• Le nombre juste avant : 8 500 - 1 = 8 499.
• Le nombre juste après : 8 500 + 1 = 8 501.
• Encadrement : 8 499 < 8 500 < 8 501.

b) Encadrement à la dizaine près : On cherche le nombre qui se termine par 0 juste avant et juste après. Exemple : Encadre 8 523 à la dizaine près.

• La dizaine juste avant : 8 520 (car 8 523 est entre 8 520 et 8 530).
• La dizaine juste après : 8 530.
• Encadrement : 8 520 < 8 523 < 8 530.

c) Encadrement à la centaine près : On cherche le nombre qui se termine par 00 juste avant et juste après. Exemple : Encadre 8 523 à la centaine près.

• La centaine juste avant : 8 500 (car 8 523 est entre 8 500 et 8 600).
• La centaine juste après : 8 600.
• Encadrement : 8 500 < 8 523 < 8 600.

d) Encadrement au millier près : On cherche le nombre qui se termine par 000 juste avant et juste après. Exemple : Encadre 8 523 au millier près.

• Le millier juste avant : 8 000 (car 8 523 est entre 8 000 et 9 000).
• Le millier juste après : 9 000.
• Encadrement : 8 000 < 8 523 < 9 000.

3. Méthode pour encadrer facilement

1. Repère le rang demandé (unité, dizaine, centaine, millier).
2. Remplace tous les chiffres à droite de ce rang par des zéros pour trouver le nombre du bas.
3. Ajoute 1 au chiffre de ce rang, et remets des zéros à droite pour trouver le nombre du haut. Exemple : Encadre 34 567 à la centaine près.

• Le rang est la centaine (le 5).
• Nombre du bas : on remplace les dizaines et unités par 0 → 34 500.
• Nombre du haut : on ajoute 1 au 5 (ça donne 6), et on remet des zéros → 34 600.
• Résultat : 34 500 < 34 567 < 34 600.