La proportionnalité : reconnaître et calculer

I. QU’EST-CE QUE LA PROPORTIONNALITÉ ?

1. La définition simple

La proportionnalité, c’est une relation spéciale entre deux grandeurs. Quand l’une augmente, l’autre augmente dans la même proportion. Quand l’une diminue, l’autre diminue aussi dans la même proportion. On dit que les deux grandeurs sont proportionnelles.

Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut passer de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.

2. Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?

Pour savoir si deux grandeurs sont proportionnelles, tu dois vérifier une chose très simple : si tu doubles une grandeur, l’autre doit doubler aussi. Si tu triples une grandeur, l’autre doit tripler. Si tu divises par deux, l’autre doit aussi être divisée par deux.

Prenons un exemple concret. Imagine que tu achètes des oranges à 50 FCFA pièce. Si tu achètes 1 orange, tu paies 50 FCFA. Si tu achètes 2 oranges, tu paies 100 FCFA. Si tu achètes 4 oranges, tu paies 200 FCFA. Tu vois ? Quand le nombre d’oranges double (de 1 à 2), le prix double aussi (de 50 à 100). Quand le nombre d’oranges quadruple (de 1 à 4), le prix quadruple aussi (de 50 à 200). C’est une situation de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité ici est 50, car tu multiplies le nombre d’oranges par 50 pour obtenir le prix.

Règle : Pour vérifier la proportionnalité, tu peux faire un tableau. Tu écris les valeurs d’une grandeur dans la première ligne et les valeurs de l’autre grandeur dans la deuxième ligne. Ensuite, tu calcules le quotient de chaque colonne (valeur du bas divisée par valeur du haut). Si tous les quotients sont égaux, alors c’est proportionnel.

3. Attention aux situations qui ne sont pas proportionnelles

Toutes les situations ne sont pas proportionnelles. Par exemple, si tu achètes un pagne à 5000 FCFA, et que tu en achètes un deuxième, le prix total est de 10 000 FCFA. Mais si tu achètes un troisième pagne, le prix total est de 15 000 FCFA. Ici, c’est proportionnel. Mais si tu achètes un sachet d’eau à 25 FCFA, et que tu en achètes 10, tu paies 250 FCFA. C’est proportionnel. Par contre, l’âge d’une personne et sa taille ne sont pas proportionnels. À 1 an, un bébé mesure environ 70 cm. À 2 ans, il ne mesure pas 140 cm. La taille n’augmente pas en multipliant l’âge par un même nombre. C’est un contre-exemple important.

II. COMMENT CALCULER UNE QUATRIÈME PROPORTIONNELLE ?

1. La méthode du passage à l’unité

C’est la méthode la plus simple et la plus utilisée dans la vie de tous les jours. Elle consiste à d’abord trouver la valeur d’une seule unité (un seul objet, un seul kilogramme, une seule heure, etc.), puis à multiplier par le nombre d’unités que tu veux.

Méthode :

1. Trouve la valeur pour une unité (le prix d’un seul objet, la quantité pour une personne, etc.).
2. Multiplie cette valeur par le nombre d’unités que tu cherches.

Exemple : Si 3 kg de riz coûtent 1500 FCFA, combien coûtent 7 kg ?

• Étape 1 : Pour 1 kg, on divise 1500 par 3. 1500 ÷ 3 = 500 FCFA. Un kilogramme de riz coûte 500 FCFA.
• Étape 2 : Pour 7 kg, on multiplie 500 par 7. 500 × 7 = 3500 FCFA.
• Réponse : 7 kg de riz coûtent 3500 FCFA.

2. La méthode du produit en croix (ou règle de trois)

Cette méthode est plus rapide quand tu as déjà un tableau de proportionnalité. Elle est très utile à l’école et dans les situations où tu dois calculer précisément.

Méthode :

1. Tu écris les deux grandeurs dans un tableau. Tu mets les valeurs connues.
2. Tu repères la valeur que tu cherches. Tu la notes avec un "?".
3. Tu appliques la formule : multiplie les deux nombres qui sont en diagonale, puis divise par le troisième nombre.

Formule à retenir : (valeur en haut à droite × valeur en bas à gauche) ÷ valeur en haut à gauche = valeur cherchée.

Exemple : Un gbaka (minibus) parcourt 60 km en 1 heure. Combien de kilomètres parcourt-il en 3 heures ?

• Tableau : Temps (heures) : 1 → 3 ; Distance (km) : 60 → ?
• Calcul : (60 × 3) ÷ 1 = 180 ÷ 1 = 180 km.
• Réponse : En 3 heures, le gbaka parcourt 180 km.

3. Quand utiliser chaque méthode ?

La méthode du passage à l’unité est parfaite quand les nombres sont simples et que tu peux calculer de tête. Elle est très utile au marché. La méthode du produit en croix est plus puissante : elle fonctionne toujours, même avec des grands nombres ou des nombres décimaux. Apprends les deux. Tu seras ainsi plus fort.

III. LES APPLICATIONS DANS LA VIE QUOTIDIENNE IVOIRIENNE

1. Les achats au marché

Quand tu achètes des fruits, des légumes, du poisson ou de la viande, les prix sont souvent donnés pour un kilogramme ou pour une unité. Par exemple, la banane plantain coûte 500 FCFA le kilogramme. Si tu veux 3 kg, tu paies 3 fois plus : 1500 FCFA. Si tu veux 500 grammes (la moitié d’un kilogramme), tu paies la moitié : 250 FCFA. C’est de la proportionnalité.

2. Les recettes de cuisine

Ta maman prépare une sauce graine pour le dîner. Sa recette est pour 4 personnes. Elle utilise 200 g de graines de palme. Vous serez 10 personnes ce soir. Combien de graines faut-il ? Tu utilises la proportionnalité. Pour 1 personne, il faut 200 ÷ 4 = 50 g. Pour 10 personnes, il faut 50 × 10 = 500 g. Tu viens d’aider ta maman à ne pas manquer d’ingrédients.

3. Les voyages en commun

Tu prends un woro-woro (taxi collectif) pour aller de Yamoussoukro à Bouaké. Le trajet coûte 2000 FCFA par personne. Vous êtes 5 amis. Le prix total est de 2000 × 5 = 10 000 FCFA. Si vous êtes 8, le prix total est de 2000 × 8 = 16 000 FCFA. Le prix total est proportionnel au nombre de passagers.

4. Les réductions et les soldes

Dans une boutique d’Abidjan, une belle chemise coûte 10 000 FCFA. Le vendeur annonce une réduction de 20 %. Cela signifie que tu paieras moins cher. Calculer une réduction, c’est aussi de la proportionnalité. Tu apprendras cela plus tard, mais sache que cela repose sur les mêmes principes.

IV. LES ERREURS FRÉQUENTES À ÉVITER

1. Confondre addition et multiplication

Quand tu as une situation de proportionnalité, il ne faut jamais additionner. Par exemple, si 1 kg de cacao coûte 800 FCFA, 3 kg ne coûtent pas 800 + 800 = 1600 FCFA. Il faut multiplier : 800 × 3 = 2400 FCFA. L’addition ne fonctionne que si tu ajoutes des choses différentes.

2. Oublier de vérifier si c’est proportionnel

Avant de calculer, demande-toi toujours : est-ce que c’est proportionnel ? Si ce n’est pas le cas, les méthodes que tu viens d’apprendre ne marchent pas. Par exemple, le prix d’un ticket de bus ne change pas si tu es seul ou avec un ami : ce n’est pas proportionnel au nombre de personnes, mais au nombre de tickets.

3. Se tromper dans le produit en croix

Quand tu utilises le produit en croix, fais bien attention à l’ordre des nombres. Multiplie toujours les deux nombres qui sont en diagonale, puis divise par le nombre qui reste. Si tu inverses, tu obtiendras un résultat faux. Entraîne-toi avec des petits nombres pour vérifier.