Problèmes de proportionnalité et de pourcentage (CEPE)

I. COMPRENDRE LA PROPORTIONNALITÉ

1. Qu’est-ce qu’une situation de proportionnalité ?

Imagine que tu achètes des oranges chez Awa, la vendeuse à la gare de Bouaké. Si 2 oranges coûtent 100 FCFA, alors 4 oranges coûteront 200 FCFA, et 6 oranges coûteront 300 FCFA. Tu vois ? Quand le nombre d’oranges double, le prix double aussi. Quand le nombre triple, le prix triple aussi. C’est cela, une situation de proportionnalité : les deux quantités (ici, le nombre d’oranges et le prix) varient dans le même rapport.

Définition : On dit que deux grandeurs sont proportionnelles si l’une s’obtient en multipliant l’autre par un nombre toujours le même. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.

2. Comment reconnaître un tableau de proportionnalité ?

Regarde ce tableau. Il montre le prix de l’attiéké :

Pour passer de la première ligne à la deuxième, tu multiplies toujours par 800. 1 × 800 = 800. 2 × 800 = 1600. 3 × 800 = 2400. 5 × 800 = 4000. Le coefficient est 800. Si tu divises le prix par la quantité, tu trouves toujours 800. C’est le prix au kilo. C’est une autre façon de vérifier.

Règle : Dans un tableau de proportionnalité, les quotients (division) entre les nombres de la deuxième ligne et ceux de la première ligne sont égaux. Ce quotient constant est le coefficient de proportionnalité.

3. Pourquoi est-ce utile pour toi ?

Quand tu vas au marché, les vendeurs utilisent souvent des prix proportionnels. Par exemple, le prix du manioc, du riz ou du savon. Si tu connais le prix d’une unité, tu peux calculer le prix de n’importe quelle quantité. Cela t’évite de te tromper ou de te faire arnaquer. C’est aussi utile pour partager équitablement des bonbons entre tes amis.

II. LE TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ : UN OUTIL PUISSANT

1. Construire un tableau de proportionnalité

Pour résoudre un problème, tu dois d’abord organiser les données. Prends un exemple : « Soro achète 4 sachets de lait caillé à 150 FCFA le sachet. Combien paie-t-il ? » Tu fais un tableau avec deux lignes. La première ligne : le nombre de sachets (1, 4). La deuxième ligne : le prix (150, ?). Tu vois que le coefficient est 150. Donc pour 4 sachets : 4 × 150 = 600 FCFA.

Méthode :

1. Identifie les deux grandeurs (ex: nombre de sachets et prix).
2. Place les valeurs connues dans un tableau.
3. Trouve le coefficient de proportionnalité (souvent le prix à l’unité).
4. Multiplie ou divise pour trouver la valeur manquante.

2. Utiliser la règle de trois (ou produit en croix)

Parfois, tu ne connais pas le coefficient directement. Exemple : « 3 kg de riz coûtent 1 500 FCFA. Combien coûtent 7 kg ? » Tu poses le tableau :

Pour trouver ?, tu fais : (7 × 1500) ÷ 3. Pourquoi ? Parce que dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. 3 × ? = 7 × 1500. Donc ? = (7 × 1500) ÷ 3. Calcule : 7 × 1500 = 10 500. 10 500 ÷ 3 = 3 500. Le prix de 7 kg est 3 500 FCFA.

Règle : La règle de trois s’écrit : (valeur inconnue) = (valeur connue sur la même ligne × valeur connue en diagonale) ÷ valeur restante.

3. Attention aux pièges

Tous les problèmes ne sont pas proportionnels. Par exemple, l’âge de ton grand-père et le nombre de ses petits-enfants ne sont pas proportionnels. Si tu doubles l’âge, le nombre d’enfants ne double pas forcément. Vérifie toujours si le rapport est constant. Au marché, méfie-toi des offres « 2 pour le prix de 3 » ou « achetez 1, le second à moitié prix ». Ce ne sont pas toujours des situations de proportionnalité simple. Il faut lire l’énoncé avec attention.

III. LES POURCENTAGES : UNE APPLICATION DE LA PROPORTIONNALITÉ

1. Qu’est-ce qu’un pourcentage ?

Un pourcentage, c’est une fraction sur 100. « 15% » signifie 15 pour 100, ou 15/100. C’est une façon de comparer des proportions. Par exemple, si dans ta classe de CM2 à l’école d’Abidjan, 60% des élèves sont des filles, cela signifie que sur 100 élèves, il y a 60 filles. Le pourcentage est toujours un rapport de proportionnalité avec 100.

Définition : Un pourcentage est une proportion dont le dénominateur est 100. On l’écrit avec le symbole %.

2. Calculer un pourcentage d’un nombre

C’est simple. Pour calculer 15% de 3 500 FCFA (le prix de deux poulets), tu fais : (15 × 3 500) ÷ 100. Ou bien : 3 500 × 0,15. Les deux méthodes donnent le même résultat.

Méthode :

1. Transforme le pourcentage en nombre décimal (15% = 0,15).
2. Multiplie ce nombre par la valeur de départ.
3. Le résultat est la part que représente le pourcentage.

Exemple : 15% de 3 500 FCFA = 3 500 × 0,15 = 525 FCFA. C’est la réduction.

3. Calculer un prix après réduction ou augmentation

C’est très courant en Côte d’Ivoire. Dans une boutique à Yamoussoukro, une chemise coûte 10 000 FCFA. Le vendeur te fait une réduction de 20%. Combien paies-tu ?

Étape 1 : Calcule le montant de la réduction : 20% de 10 000 = 10 000 × 0,20 = 2 000 FCFA. Étape 2 : Soustrais la réduction du prix initial : 10 000 – 2 000 = 8 000 FCFA.

Pour une augmentation (ex: le prix du carburant augmente de 5%), tu ajoutes le pourcentage au prix initial.

Règle : Prix final = Prix initial + (Prix initial × pourcentage) pour une augmentation. Prix final = Prix initial – (Prix initial × pourcentage) pour une réduction.

4. Lien avec le tableau de proportionnalité

Un pourcentage peut toujours se mettre dans un tableau de proportionnalité. Par exemple, « 20% de réduction » signifie que pour 100 FCFA d’achat, tu économises 20 FCFA. Tu peux faire un tableau :

Tu appliques la règle de trois : ? = (10 000 × 20) ÷ 100 = 2 000 FCFA. C’est la même chose.

IV. APPLICATIONS CONCRÈTES DANS LA VIE IVOIRIENNE

1. Les achats groupés au marché

Quand ta tante Achta achète 5 kg de tomates à 600 FCFA le kg, elle utilise la proportionnalité. Mais si le vendeur propose « 10 kg pour 5 000 FCFA au lieu de 6 000 », c’est une réduction de 16,67%. Tu peux vérifier si l’offre est intéressante.

2. Les pourcentages dans les examens

Au CEPE, ta note en mathématiques est sur 20. Si tu obtiens 14/20, cela fait 70% de bonnes réponses. Les enseignants utilisent souvent des pourcentages pour calculer les moyennes. Par exemple, si l’évaluation de la dictée compte pour 30% de la note de français, et que tu as 16/20 en dictée, ta contribution est de 30% de 16, soit 4,8 points.

3. Les réductions dans les magasins

À la boutique de tissus au Plateau, une pièce de pagne coûte 15 000 FCFA. Une affiche annonce « -25% sur tout le stock ». Tu veux acheter 2 pagnes. Calcule d’abord le prix d’un pagne après réduction : 15 000 – (25% de 15 000) = 15 000 – 3 750 = 11 250 FCFA. Puis multiplie par 2 : 22 500 FCFA. Tu économises 7 500 FCFA. Avec cet argent, tu peux t’acheter des chaussures.

4. Les parts dans un héritage ou un partage

Parfois, dans une famille à Bouaké, on partage un terrain. Si l’oncle Mamadou reçoit 40% du terrain, et que le terrain fait 500 m², sa part est de 40% de 500 = 200 m². C’est une application directe de la proportionnalité.