Division euclidienne

1. Situation de départ

Imagine Kouamé, à Yamoussoumo... pardon, à Yamoussoukro, qui a récolté 23 ignames dans le champ de son père. Il veut les ranger dans des sacs, chaque sac pouvant contenir 4 ignames. Kouamé se demande : combien de sacs pleins va-t-il obtenir ? Et combien d'ignames vont rester en dehors, parce qu'elles ne suffisent pas pour remplir un sac de plus ?

Si tu comptes petit à petit : 4 ignames, encore 4, encore 4... tu vas remplir 5 sacs (5 fois 4 égale 20 ignames), et il restera 3 ignames toutes seules. Ce genre de partage, avec un reste qui ne peut plus être partagé, s'appelle une division euclidienne.

2. Découverte

Dans l'exemple de Kouamé, on a utilisé quatre nombres importants. Observons-les :

• Le nombre total d'ignames, 23, c'est ce qu'on veut partager.
• Le nombre d'ignames par sac, 4, c'est la taille de chaque groupe.
• Le nombre de sacs pleins obtenus, 5, c'est le résultat du partage.
• Le nombre d'ignames qui restent, 3, c'est ce qui n'a pas pu être partagé complètement.

Pose-toi cette question : peut-on continuer à remplir un sac de plus avec les 3 ignames restantes ? Non, car il en faut 4 pour un sac plein. C'est pour cela que 3 est appelé le reste, et il doit toujours être plus petit que le diviseur, sinon on pourrait encore former un groupe.

3. Notion et règle

Maintenant donnons des noms précis à chaque nombre, car en mathématiques, chaque mot a un sens clair.

Le dividende est le nombre total qu'on veut partager. Dans notre exemple, c'est 23, le nombre total d'ignames.

Le diviseur est le nombre qui indique la taille de chaque groupe, ou le nombre de parts. Ici, c'est 4, le nombre d'ignames par sac.

Le quotient est le nombre de groupes complets qu'on peut former. Ici, c'est 5, le nombre de sacs pleins.

Le reste est ce qui n'a pas pu être partagé complètement. Ici, c'est 3, le nombre d'ignames restantes.

On écrit cette relation avec une égalité très importante, que tu dois retenir par cœur :

Dividende égale (diviseur multiplié par quotient) plus reste

Vérifions avec l'exemple de Kouamé : 23 égale (4 multiplié par 5) plus 3 23 égale 20 plus 3 23 égale 23

L'égalité est vraie, donc notre partage est correct.

Une règle très importante à retenir : le reste doit toujours être strictement plus petit que le diviseur. Si le reste est plus grand ou égal au diviseur, cela veut dire qu'on peut encore former un groupe de plus, et le partage n'est pas terminé.

Par exemple, si on te dit que 30 divisé par 6 donne un quotient de 4 et un reste de 6, c'est faux, car 6 n'est pas plus petit que 6, le diviseur. Il faudrait continuer le partage.

Quand le reste est égal à 0, on dit que la division est exacte, ou que le dividende est un multiple du diviseur. Par exemple, 24 divisé par 6 donne un quotient de 4 et un reste de 0, car 6 multiplié par 4 égale 24 exactement.

4. Application guidée

Faisons ensemble un exercice, étape par étape, comme si nous étions ensemble à Bouaké.

Fatou a 58 oranges. Elle veut les ranger dans des paniers de 7 oranges chacun. Combien de paniers pleins pourra-t-elle faire, et combien d'oranges resteront ?

Étape 1 : On identifie le dividende et le diviseur. Le dividende est 58 (le nombre total d'oranges). Le diviseur est 7 (le nombre d'oranges par panier).

Étape 2 : On cherche combien de fois 7 peut être multiplié pour rester proche de 58, sans le dépasser. 7 multiplié par 5 égale 35 7 multiplié par 6 égale 42 7 multiplié par 7 égale 49 7 multiplié par 8 égale 56 7 multiplié par 9 égale 63 (trop grand, on dépasse 58)

Donc le quotient est 8, car 56 est le plus grand multiple de 7 qui ne dépasse pas 58.

Étape 3 : On calcule le reste. Reste égale dividende moins (diviseur multiplié par quotient) Reste égale 58 moins 56 Reste égale 2

Étape 4 : On vérifie avec l'égalité fondamentale. Dividende égale (diviseur multiplié par quotient) plus reste 58 égale (7 multiplié par 8) plus 2 58 égale 56 plus 2 58 égale 58

L'égalité est vraie. Donc Fatou peut faire 8 paniers pleins, et il restera 2 oranges qui ne rentrent pas dans un panier complet.

5. Synthèse

La division euclidienne permet de partager une quantité en groupes égaux, tout en acceptant qu'il puisse rester un petit surplus, appelé le reste. Les quatre nombres à connaître sont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste, reliés par l'égalité : dividende égale (diviseur multiplié par quotient) plus reste, avec toujours un reste plus petit que le diviseur.