Mathématiques · 4ème
Cercle circonscrit
Comprendre et construire le cercle circonscrit d'un triangle, puis l'utiliser pour résoudre des problèmes géométriques simples.
Imagine que tu es à Abidjan, au stade Félix Houphouët-Boigny. L'entraîneur de football veut placer trois drapeaux aux positions de Kofi, Awa et Mamadou sur le terrain. Il souhaite installer une caméra circulaire qui filme exactement ces trois joueurs en même temps, à égale distance de chacun. Où doit-il placer cette caméra ? C'est exactement le problème du cercle circonscrit ! Ce cercle passe par les trois points (les joueurs) et son centre est équidistant de tous les trois. Dans cette leçon, tu vas apprendre à trouver ce centre mystérieux et à tracer ce cercle parfait. C'est une compétence très utile en architecture, en sport et même en jeux vidéo !
Qu'est-ce que le cercle circonscrit ?
Le cercle circonscrit d'un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. C'est le seul cercle qui peut passer exactement par ces trois points à la fois.
Imagine un triangle ABC. Le cercle circonscrit passe par A, par B et par C. Aucun autre cercle ne peut faire cela avec ces trois points précis.
Propriété importante : Le centre du cercle circonscrit est équidistant des trois sommets. Cela signifie que la distance du centre à A = la distance du centre à B = la distance du centre à C. Cette distance commune s'appelle le rayon du cercle circonscrit.
Comment trouver le centre du cercle circonscrit ?
Le centre du cercle circonscrit se trouve à l'intersection des médiatrices du triangle.
Qu'est-ce qu'une médiatrice ?
Une médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
Pour un triangle ABC :
- La médiatrice du côté AB est perpendiculaire à AB et passe par le milieu de AB.
- La médiatrice du côté BC est perpendiculaire à BC et passe par le milieu de BC.
- La médiatrice du côté AC est perpendiculaire à AC et passe par le milieu de AC.
Propriété clé : Tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des deux extrémités du segment.
Étapes pour construire le cercle circonscrit
Étape 1 : Trace le triangle ABC.
Étape 2 : Trouve le milieu de chaque côté du triangle.
- Milieu de AB : appelle-le M₁
- Milieu de BC : appelle-le M₂
- Milieu de AC : appelle-le M₃
Étape 3 : Trace la perpendiculaire à AB passant par M₁ (c'est la médiatrice de AB).
Étape 4 : Trace la perpendiculaire à BC passant par M₂ (c'est la médiatrice de BC).
Étape 5 : Ces deux médiatrices se coupent en un point. Appelle ce point O. C'est le centre du cercle circonscrit.
Étape 6 : Mesure la distance OA (ou OB ou OC — elles sont égales). C'est le rayon.
Étape 7 : Trace le cercle de centre O et de rayon OA. Ce cercle passe par A, B et C.
Cas particuliers
Triangle rectangle
Pour un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse. L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit.
Cela signifie que le rayon du cercle circonscrit = hypoténuse ÷ 2.
Triangle isocèle
Pour un triangle isocèle, le centre du cercle circonscrit se trouve sur l'axe de symétrie du triangle (la médiatrice de la base).
Triangle équilatéral
Pour un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit est aussi le centre de gravité du triangle. Il se trouve à l'intersection des trois médiatrices, qui sont aussi les trois hauteurs et les trois médianes.
Pourquoi c'est utile ?
Le cercle circonscrit est utilisé dans :
- L'architecture : pour tracer des arcs de cercle parfaits.
- Les sports : pour calculer des trajectoires circulaires.
- La navigation : pour déterminer des zones de couverture.
- Les jeux vidéo : pour les collisions circulaires.
À retenir
- Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle et est unique.
- Le centre du cercle circonscrit est l'intersection des trois médiatrices du triangle.
- Une médiatrice est perpendiculaire au côté et passe par son milieu.
- Tout point sur une médiatrice est équidistant des deux extrémités du segment.
- Pour un triangle rectangle, le centre est le milieu de l'hypoténuse, et le rayon = hypoténuse ÷ 2.
Teste tes connaissances
3 exercices, du plus facile au plus difficile.
Facile
Au marché de Treichville, Awa a placé trois étals aux points A, B et C. Elle cherche le point O pour installer son parapluie central, à égale distance des trois étals. Comment s'appelle ce point O ?
Moyen
Au village de Grand-Bassam, Yao trace la médiatrice du segment [AB] de son terrain. Son cousin lui demande : "Que peut-on dire d'un point M situé sur cette droite ?"
Difficile
Mamadou a un enclos triangulaire rectangle en C. AC = 6 m, BC = 8 m, AB = 10 m. Il place un abreuvoir au centre du cercle circonscrit. Quelle est la distance entre l'abreuvoir et chaque sommet ?
Envie d'aller plus loin ?
Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes les leçons et suivre ta progression.
S'inscrire gratuitement