Cercle et tangente

1. Qu'est-ce qu'une tangente à un cercle ?

Définition simple

Une tangente à un cercle est une droite qui touche le cercle en un seul point, appelé point de tangence. Elle ne traverse jamais le cercle, elle le frôle simplement.

Pense à un ballon posé sur une table : la table touche le ballon en un seul point. Si tu imagines ce point de vue de haut, la table représente une tangente au cercle formé par le ballon.

La propriété fondamentale (très importante !)

La tangente à un cercle est toujours perpendiculaire au rayon au point de tangence.

Cela signifie que si tu traces le rayon du centre O jusqu'au point P où la tangente touche le cercle, le rayon et la tangente forment un angle de 90 degrés (un angle droit). C'est LA propriété que tu dois retenir, car elle te permet de vérifier si une droite est vraiment tangente.

2. Vocabulaire à maîtriser

• Cercle : ensemble de tous les points situés à la même distance d'un point appelé centre.
• Centre : le point O au milieu du cercle.
• Rayon : la distance du centre à n'importe quel point du cercle (on note souvent r).
• Tangente : la droite qui touche le cercle en un seul point.
• Point de tangence : le point unique où la tangente touche le cercle (on le note souvent P).
• Perpendiculaire : deux droites qui forment un angle de 90° (un angle droit).

3. Comment tracer une tangente ?

Étape par étape

Étape 1 : Identifier le centre et le rayon

Tu dois d'abord connaître le centre O du cercle et son rayon r. Par exemple, un cercle de centre O et de rayon 3 cm.

Étape 2 : Choisir un point de tangence

Sélectionne un point P sur le cercle. Ce sera l'endroit où la tangente touchera le cercle.

Étape 3 : Tracer le rayon

Trace le segment [OP] qui relie le centre O au point P. Ce segment est le rayon.

Étape 4 : Tracer la perpendiculaire

À partir du point P, trace une droite qui forme un angle de 90° avec le rayon [OP]. Cette droite est ta tangente.

Comment vérifier l'angle droit ?

Utilise une équerre : place-la de sorte que l'angle droit soit exactement au point P, avec un côté sur le rayon [OP] et l'autre côté sur la tangente. Si l'équerre s'ajuste parfaitement, tu as un angle de 90°.

Schéma

              Tangente
                 |
                 | 90°
                 |
    ─────────────P────────────  (tangente)
                /
               / rayon [OP]
              /
             O (centre)

4. Les trois propriétés essentielles

Propriété 1 : Unicité de la tangente

Pour chaque point d'un cercle, il existe une seule et unique tangente.

Tu ne peux tracer qu'une seule droite tangente au point P du cercle. Pas deux, pas trois : une seule.

Propriété 2 : Perpendicularité (la plus importante)

La tangente est toujours perpendiculaire au rayon au point de tangence.

L'angle entre le rayon [OP] et la tangente est toujours 90°. C'est cette propriété qui te permet de reconnaître une tangente.

Propriété 3 : Distance du centre à la tangente

La distance du centre O à la tangente est égale au rayon r du cercle.

Si tu mesures la distance perpendiculaire entre le centre et la tangente, tu trouveras exactement la longueur du rayon. C'est logique : la tangente touche le cercle, donc elle est à une distance égale au rayon du centre.

5. Comment reconnaître une tangente ?

Pour vérifier qu'une droite est tangente à un cercle, tu dois vérifier deux conditions :

1. La droite touche le cercle en un seul point (le point de tangence).
2. La droite est perpendiculaire au rayon à ce point (angle de 90°).

Si les deux conditions sont satisfaites, alors c'est une tangente. Si une seule condition manque, ce n'est pas une tangente.

6. Exemple concret : Le problème du menuisier

Situation : Kofi est menuisier à Yamoussoukro. Il fabrique une table ronde de rayon 50 cm. Il veut poser une barre de bois qui touche le bord de la table en un seul point, sans traverser la table. Comment doit-il positionner cette barre ?

Solution :

Kofi doit s'assurer que la barre est tangente au cercle formé par la table. Pour cela :

1. Il choisit un point P sur le bord de la table (le point de contact).
2. Il trace mentalement le rayon [OP] du centre O au point P.
3. Il positionne la barre de sorte qu'elle soit perpendiculaire au rayon [OP].

Si la barre forme un angle de 90° avec le rayon, elle touchera la table en un seul point et ne la traversera pas. C'est une tangente !

7. Exercice guidé : Vérifier qu'une droite est tangente

Énoncé : Un cercle a pour centre O et pour rayon 4 cm. Une droite (d) passe par un point P du cercle. On sait que l'angle entre le rayon [OP] et la droite (d) est 90°. La droite (d) est-elle tangente au cercle ?

Solution :

Étape 1 — Identifier les informations

• Centre : O
• Rayon : 4 cm
• Point : P sur le cercle
• Droite : (d) passant par P
• Angle entre [OP] et (d) : 90°

Étape 2 — Appliquer la propriété

Je sais que : « Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de tangence. »

Ici :

• La droite (d) passe par P, qui est sur le cercle.
• La droite (d) est perpendiculaire au rayon [OP] (angle de 90°).

Étape 3 — Conclure

Oui, la droite (d) est tangente au cercle, car elle satisfait les deux conditions : elle touche le cercle en un seul point (P) et elle est perpendiculaire au rayon en ce point.

Justification : Puisque (d) ⊥ [OP] au point P qui est sur le cercle, la droite (d) ne peut toucher le cercle qu'en ce point P. Elle ne peut donc pas le traverser. C'est une tangente.

8. Cas pratique : Le ballon de foot

Situation : Aminata joue au football à Abidjan. Elle observe que le ballon touche le sol en un seul point. Elle se demande : si je trace une ligne sur le sol à partir de ce point de contact, quelle est la relation entre cette ligne et le rayon du ballon ?

Réponse : La ligne sur le sol est tangente au cercle formé par le ballon (vu de haut). Elle est perpendiculaire au rayon qui va du centre du ballon au point de contact. C'est pour cela que le ballon ne bascule pas : il est en équilibre sur cette tangente.