Développement

1. Qu'est-ce que développer ?

Développer une expression, c'est transformer un produit (une multiplication) en une somme ou une différence (une addition ou une soustraction).

Pourquoi c'est utile ?

• Pour simplifier des calculs compliqués
• Pour résoudre des équations
• Pour vérifier tes résultats
• Pour mieux comprendre les structures mathématiques

Exemple simple : Au lieu d'écrire 3 × (2 + 4), tu peux écrire 3 × 2 + 3 × 4 = 6 + 12 = 18. Les deux donnent le même résultat, mais la deuxième forme est plus facile à manipuler.

2. Reconnaître une expression à développer

Tu dois apprendre à repérer quand tu dois développer. Voici les signaux :

Cas 1 : Un nombre ou une lettre devant une parenthèse

• 2(x + 3)
• 5(a - 1)
• x(y + 2)

Cas 2 : Deux parenthèses côte à côte

• (x + 2)(x + 3)
• (a - 1)(b + 4)
• (2x + 1)(3x - 2)

Quand tu vois ces formes, c'est le signal : tu peux développer !

3. La règle fondamentale : la distributivité

La clé du développement, c'est la distributivité. Cette règle dit que tu multiplies le facteur extérieur par chaque terme à l'intérieur de la parenthèse.

Cas 1 : Développer k(a + b)

La règle : k(a + b) = k × a + k × b

Méthode :

1. Identifie le facteur extérieur (k)
2. Identifie chaque terme à l'intérieur (a et b)
3. Multiplie le facteur par chaque terme
4. Regroupe les résultats

Exemple 1 : 3(x + 5) = 3 × x + 3 × 5 = 3x + 15

Exemple 2 : 2(4a + 3) = 2 × 4a + 2 × 3 = 8a + 6

Attention aux signes négatifs !

Quand tu multiplies par un nombre négatif, le signe change !

-2(x + 3) = -2 × x + (-2) × 3 = -2x - 6

Remarque : (-2) × 3 = -6, donc le signe devient négatif.

3(x - 2) = 3 × x + 3 × (-2) = 3x - 6

Ici aussi, 3 × (-2) = -6, donc le signe devient négatif.

Cas 2 : Développer (a + b)(c + d)

Ici, tu dois multiplier chaque terme du premier facteur par chaque terme du deuxième facteur.

La règle : (a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

Méthode du schéma :

Tu fais 4 multiplications, puis tu ajoutes tous les résultats.

        (a + b)(c + d)
         ↙ ↘  ↙ ↘
       a×c  a×d  b×c  b×d

Exemple 3 : (x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

Remarque : à la fin, tu as regroupé 3x + 2x = 5x. C'est important de regrouper les termes semblables (ceux qui ont la même lettre et le même exposant).

Exemple 4 (avec des signes négatifs) : (x - 1)(x + 4) = x × x + x × 4 + (-1) × x + (-1) × 4 = x² + 4x - x - 4 = x² + 3x - 4

4. Les identités remarquables (bonus)

Il existe trois formes que tu rencontreras très souvent. Apprends-les par cœur, elles te font gagner du temps !

Identité 1 : Carré d'une somme (a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemple : (x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9

Identité 2 : Carré d'une différence (a - b)² = a² - 2ab + b²

Exemple : (x - 2)² = x² - 2(x)(2) + 2² = x² - 4x + 4

Identité 3 : Produit de la somme par la différence (a + b)(a - b) = a² - b²

Exemple : (x + 5)(x - 5) = x² - 5² = x² - 25

5. Étapes pour développer correctement

Étape 1 : Lis bien l'expression et identifie sa forme (k(a+b) ou (a+b)(c+d))

Étape 2 : Repère tous les termes et leurs signes

Étape 3 : Applique la règle de distributivité

Étape 4 : Regroupe les termes semblables

Étape 5 : Vérifie ton résultat en remplaçant la variable par une valeur simple

6. Vérification : comment être sûr de ton résultat ?

La meilleure façon de vérifier, c'est de remplacer la variable par un nombre simple (souvent 0 ou 1).

Exemple :

• Expression : (x + 2)(x + 3)
• Développement : x² + 5x + 6
• Vérification avec x = 1 :
  • Forme initiale : (1 + 2)(1 + 3) = 3 × 4 = 12
  • Forme développée : 1² + 5(1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 ✓

Les deux donnent le même résultat, donc c'est correct !