Inéquations

1. SITUATION DE DÉPART Imagine Yao, élève de 3ème à Bouaké, qui a économisé 3000 FCFA. Il veut acheter des cahiers à 350 FCFA l'unité pour préparer sa rentrée, mais il veut garder au moins 200 FCFA pour son transport en gbaka. Combien de cahiers Yao peut-il acheter au maximum ? Cette question ne donne pas une seule réponse précise comme dans une équation, mais un ensemble de réponses possibles : 1 cahier, 2 cahiers, 3 cahiers... jusqu'à une certaine limite. C'est exactement le rôle d'une inéquation : trouver toutes les valeurs qui respectent une contrainte.

2. DÉCOUVERTE Regardons de plus près le problème de Yao. Si x représente le nombre de cahiers achetés, alors la dépense totale est 350 multiplié par x. Il lui reste donc 3000 moins 350 multiplié par x. Cette somme restante doit être supérieure ou égale à 200 FCFA. On écrit cela ainsi : 3000 moins 350 multiplié par x supérieur ou égal à 200

Remarque bien le symbole utilisé : ce n'est pas un signe égal, mais un signe d'inégalité. Il existe quatre symboles importants à connaître :

• supérieur strict (plus grand que, sans égalité)
• supérieur ou égal (plus grand ou égal)
• inférieur strict (plus petit que, sans égalité)
• inférieur ou égal (plus petit ou égal)

Une inéquation ressemble beaucoup à une équation, mais au lieu de chercher UNE solution unique, on cherche TOUT UN ENSEMBLE de solutions, souvent infini.

3. NOTION ET RÈGLE Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on applique les mêmes techniques que pour une équation, avec UNE règle très importante à ne jamais oublier :

RÈGLE FONDAMENTALE : Quand tu multiplies ou divises les deux côtés d'une inéquation par un nombre NÉGATIF, le sens de l'inégalité CHANGE (il s'inverse).

Par contre, si tu additionnes, soustrais, multiplies ou divises par un nombre POSITIF, le sens de l'inégalité reste le même.

Voici les étapes à suivre pour résoudre une inéquation : Étape 1 : Isoler les termes contenant x d'un côté, et les nombres seuls de l'autre côté, en additionnant ou soustrayant les mêmes quantités des deux côtés. Étape 2 : Diviser les deux côtés par le coefficient de x, en faisant très attention au signe de ce coefficient. Étape 3 : Écrire la solution sous forme d'ensemble, par exemple x inférieur ou égal à 8. Étape 4 : Représenter cet ensemble sur une droite graduée.

Pour la représentation graphique sur une droite graduée : on trace une droite horizontale, on place un point à la valeur trouvée. Si l'inégalité est stricte (supérieur ou inférieur sans égalité), on dessine un cercle vide (ou un crochet ouvert) à ce point, car cette valeur exacte n'est PAS incluse dans la solution. Si l'inégalité est large (avec égalité, donc supérieur ou égal, ou inférieur ou égal), on dessine un point plein (ou un crochet fermé), car cette valeur EST incluse. Ensuite, on trace une flèche ou un trait épais vers la droite si les solutions sont les nombres plus grands, ou vers la gauche si les solutions sont les nombres plus petits.

4. APPLICATION GUIDÉE Reprenons le problème de Yao ensemble, étape par étape. Inéquation de départ : 3000 moins 350 multiplié par x supérieur ou égal à 200

Étape 1 : On soustrait 3000 des deux côtés (ou on organise autrement). Faisons-le proprement en isolant le terme avec x : 3000 moins 350 multiplié par x supérieur ou égal à 200 On soustrait 3000 de chaque côté : Moins 350 multiplié par x supérieur ou égal à 200 moins 3000 Moins 350 multiplié par x supérieur ou égal à moins 2800

Étape 2 : On divise les deux côtés par moins 350. Attention, moins 350 est un nombre négatif, donc le sens de l'inégalité s'inverse ! x inférieur ou égal à moins 2800 divisé par moins 350 x inférieur ou égal à 8

Étape 3 : La solution est donc x inférieur ou égal à 8. Cela signifie que Yao peut acheter au maximum 8 cahiers, car le nombre de cahiers doit aussi être un nombre entier positif dans la réalité (on ne peut pas acheter -3 cahiers). Donc dans le contexte réel, les solutions utiles sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 cahiers.

Étape 4 : Sur une droite graduée, on place un point plein sur le chiffre 8 (car l'inégalité est large, avec égalité), puis on trace un trait épais vers la gauche, vers les nombres plus petits, pour montrer que toutes les valeurs inférieures ou égales à 8 conviennent.

Vérifions avec x égal à 8 : 3000 moins 350 multiplié par 8 égal 3000 moins 2800 égal 200. Le résultat est bien égal à 200, ce qui respecte l'inégalité supérieur ou égal à 200. La solution est donc correcte.

5. SYNTHÈSE Résoudre une inéquation, c'est chercher tous les nombres qui respectent une condition d'inégalité, et non une seule valeur précise. La méthode ressemble à celle des équations, mais il faut absolument retenir la règle du changement de sens lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif. La représentation sur une droite graduée permet de visualiser rapidement l'ensemble des solutions, avec un point plein pour les inégalités larges et un point vide pour les inégalités strictes. Cette notion est très utile pour gérer un budget, comparer des offres, ou poser des limites dans des situations de la vie courante en Côte d'Ivoire.